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数学软件在高等数学中绘图与数值计算的实例研
作者:网站采编关键词:
摘要：一、研究的总体思路 在重积分、曲线积分、曲面积分计算教学中，常常会想到重积分区域图、曲面积分的曲面图绘制[1]得对不对，数值计算结果对不对，现借助MATLAB 强大的绘图与计算
一、研究的总体思路
在重积分、曲线积分、曲面积分计算教学中，常常会想到重积分区域图、曲面积分的曲面图绘制[1]得对不对，数值计算结果对不对，现借助MATLAB 强大的绘图与计算功能，能够较轻松地解决传统教科书上的重积分区域图、曲面积分曲面图的绘制及重积分、曲线积分、曲面积分数值计算问题。
二、重积分的区域图绘制与数值计算
（一）二重积分
1.利用直角坐标系计算
例1[2P145].计算其中D 是由抛物线y2＝x 及直线y=x-2 所围成的闭区域。
解：首先用MATLAB 绘制出闭区域D 图形的示意图，设计其指令代码如下：fplot（’[－sqrt（x），x－2]’，[08 －2．52．5]）；hold on；fplot（’[sqrt（x），x－2]’，[08 －2．52．5]）；%fplot 精确绘制y＝f（x）二维图形，效果如图1。或是，ezplot（’y＾2－x’）；hold on；ezplot（’yx＋2’）；%ezplot 可绘制隐函数f（x，y）＝0 的二维图形。或是，x=0∶8/40∶8；y1=-sqrt（x）；y2=sqrt（x）；y3=x-2；plot（x，y1，x，y2，x，y3）；%plot 不精确绘制y=f（x）二维图形。
图1
从图1 中，易知设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms xy；
%二次定积分计算；
运行后得，I=45/8。
2.利用极坐标系计算
例2[2P150].计算其中D 是由圆心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域。
解：经分析，得
设θ＝x，ρ=y，则设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms x y a e；
%二次定积分计算；
上运行后得，
（二）三重积分
例3[2P162].计算三重积分其中Ω 为三个坐标面及平面x＋2y＋z＝1 所围成的闭区域。
解：经分析，得
设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms x y z；
%三次积分计算；
运行后得，I=1/48。
例4[2P164].计算三重积分其中Ω 是由曲面z＝x2＋y2与平面z＝4 所围成的闭区域。
解：首先用MATLAB 绘制出闭区域Ω 图形的示意图，设计其指令代码如下：
效果如图2。
经分析，得
设θ＝x，ρ＝y，则设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms x y z；
%三次积分计算；
运行后得，I＝64/3*pi．即
图2
例5[2P166].求半径为a 的球面与半顶角为α 的内接锥面所围成的立体的体积。
解：经分析，得
设α＝b，θ＝x，φ＝y，设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms x y z a b；
I＝int（int（int（z＾2*sin（y），z，0，2*a*cos（y）），y，0，b），x，0，2*pi），%三次积分计算；
运行后得，I=-4/3*a^3*cos（b）^4*pi+4/3*a^3*pi.
即
三、曲线积分的数值计算
例6[2P192].计算其中L 是抛物线y=x2上点O（0，0）与B（1，1）之间的一段弧。解：经分析，得
则设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms x；
I=int（x*sqrt（1+4*x^2），x，0，1），%一次积分计算；
运行后得，I =（5*5^（1/2））/12-1/12，即
例7[2P192].计算半径为R、中心角为2α 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度μ＝1）。
解：经分析，得
设α＝a，θ＝，则设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms a R x；
I=int（R^2*（sin（x））^2*sqrt（（-R*sin（x））^2+（R*cos（x））^2），x，-a，a）
%一次积分计算；
运行后得，I=（R^2*（R^2）^（1/2）*（2*a-sin（2*a））），
即I＝R3（α－sinαcosα）。
例8[2P193].计算曲线积分其中L 为螺旋线x＝acost、y＝asint、z＝kt 上相应于t 从0 到2π 的一段弧。
解：设计计算I 的MATLAB 的程序代码：syms a k t；
%一次积分计算；
运行后得，
I =（2*pi*（3*a^2 + 4*pi^2*k^2）*（a^2 + k^2）^（1/2））/3，即I＝
四、曲面积分的曲面图绘制与数值计算
（一）对面积的曲面积分
例9.计算曲面积分其中∑是球面x2＋y2＋z2＝9 被平面z＝2 截出的顶部。
解：（直角坐标绘图法、极坐标绘图法与曲面积分计算可化为二次定积分计算）首先用%直角坐标绘图法绘制出曲面∑在xOy上方图形的示意图，设计其指令代码如下：
文章来源：《计算机产品与流通》 网址: http://www.jsjcpylt.cn/qikandaodu/2021/0421/1237.html
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